Conceptos de probabilidad

Muchos fenómenos de la naturaleza, como la caída libre de un cuerpo en la superficie terrestre, pueden predecirse mediante leyes deterministas. Otros, en cambio, se rigen por el azar, aun cuando se produzcan siempre en unas mismas condiciones. Por ejemplo, ¿qué número saldrá al lanzar un dado? Los sucesos que obedecen al azar se denominan aleatorios o estocásticos, y su comportamiento se estudia a través del cálculo de probabilidades.

Sucesos estocásticos

Por definición, se llama experimento aleatorio, estocástico o estadístico al que puede producir resultados diferentes en unas mismas condiciones. Lanzar una moneda al aire o tirar un dado son ejemplos comunes de experimentos aleatorios.

Cada uno de los resultados de un experimento aleatorio se llama suceso elemental, y el conjunto de todos los sucesos elementales distintos que pueden producirse en el experimento se denomina espacio muestral. Por ejemplo, el espacio muestral de un experimento aleatorio consistente en tirar un dado es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Los diversos subconjuntos del espacio muestral se denominan sucesos estocásticos. Algunos tipos especiales de sucesos estocásticos son:

• Suceso seguro, que se produce siempre. Matemáticamente, corresponde al espacio muestral E.


• Suceso imposible, que no ocurre nunca y que corresponde al subconjunto Æ (espacio vacío) de E.


• Suceso contrario o complementario de uno dado (si se produce el suceso A, su complementario no ocurre, y a la inversa). Matemáticamente: = E - A.


• Dos sucesos estocásticos con algún suceso elemental común se dicen compatibles; en caso contrario, se llaman incompatibles.

Operaciones con sucesos

En el espacio muestral E de sucesos estocásticos pueden definirse varias operaciones:

• Unión de sucesos A y B, un suceso estocástico que contiene todos los sucesos elementales de A y de B. Se expresa como A È B. (La unión de dos sucesos complementarios es el espacio muestral: A È = E).


• Intersección de sucesos A y B, que comprende sólo los sucesos elementales comunes a A y B. Se expresa como A Ç B. (Dos sucesos incompatibles tienen por intersección el suceso imposible Æ).


• Diferencia de sucesos A y B, que es un nuevo suceso formado por los sucesos elementales de A que no lo son de B. Se escribe A - B.


• Implicación de sucesos. Se dice que un suceso estocástico A implica a otro B cuando se cumple que A es un subconjunto de B (A Ì B).

Propiedades de las operaciones con sucesos.

Probabilidad de un suceso

Dado un experimento aleatorio, se denomina probabilidad a una función que asigna a cada suceso estocástico un número que refleja el tanto por uno de veces que ocurre el suceso dentro del experimento. Por tanto, el valor de la probabilidad indica la frecuencia relativa de cada suceso estocástico dentro del experimento aleatorio.

La función probabilidad expresa como P (A), y se distingue por las siguientes características:

• La probabilidad del suceso seguro es 1: P (E) = 1.


• La probabilidad del suceso imposible es 0: P (Æ) = 0.


• La probabilidad de cualquier suceso está comprendida entre 0 y 1: 0 £ P (A) £ 1.

Propiedades de la función probabilidad

Otras propiedades interesantes de la función probabilidad son las siguientes:

• Dado un conjunto de sucesos incompatibles dos a dos, la probabilidad de su unión es igual a la suma de las probabilidades de cada suceso individual:
  
  
  
  
  
  


• La probabilidad del suceso contrario viene dada por P () = 1 - P (A).


• Para dos sucesos compatibles, se cumple que la probabilidad de la unión es igual a la suma de las probabilidades de cada suceso menos la probabilidad del suceso intersección entre ambos:
  

  P (A È B) = P (A) + P (B) - P (A Ç B)

  
  

Representación gráfica de la unión y la intersección de dos sucesos compatibles.

• Regla de Laplace, según la cual la probabilidad de un suceso estocástico formado por h sucesos elementales equiprobables en un espacio muestral de n elementos se determina como el cociente entre el número de casos favorables (h) y el número de casos posibles (n).